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By B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3642580386

ISBN-13: 9783642580383

ISBN-10: 364263446X

ISBN-13: 9783642634468

In unnachahmlicher Weise versteht van der Waerden es, das Wesentliche einer mathematischen Theorie oder eines Teilgebietes verständlich und einprägsam zugleich darzustellen. Die beiden nun neu vorgelegten Bände der Algebra haben mehrere Generationen von Mathematikern als Einführung in die Algebra gedient, und viele greifen auch heute noch zu seinen Ausführungen, die nichts von ihrer Frische und Kraft verloren haben. Das Geleitwort von Jürgen Neukirch unterstreicht, welchen ganz besondern Stellenwert dieses Lehrbuch im deutschen Sprachraum einnimmt.

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X2k-lYU - X2kY2k-l) o $;;2k $;;n. 1m n-dimensionalen Vektorraum der Vektoren (Cl' ... , cn) gibt es einen linearen Teilraum 9l, der durch die Gleichungen /(c, y) = 0 identisch in den Yk oder ~afkCt = 0 definiert wird. Die Dimension dieses Teilraums ist n - r, wo r der Rang der Matrix A ist. Diese Dimension ist offensichtlich eine Invariante der Form / bei umkehrbaren linearen Transformationen der Xi und Yk. Also ist auch r eine Invariante. Berechnet man den Rang r fur die Normalform h, so erhalt man (9) r = 2k.

Beispiele von Algebren 41 Wir wollen nun eine Multiplikation der Vektoren so definieren, daB (10) uu = Q(u) , (11) + vu uv = B(u, v) gilt. Dabei ist (11) eine Folge von (10): uv + vu = (u + v) (u + v) - uu - vv + v) - Q(u) - Q(v) = = Q(u B(u, v) . Insbesondere solI also gelten (12) UiUi = q, , (13) Uiul + ul u , = (i qtl < 1). Wir bilden wieder einen 2"-dimensionalen Vektorraum, bestehend aus den Summen (14) ea + L Ui~' i + L Uil~'1 + ... + U12 ... 1l~12 ... 1l . i

Wenn r Vektoren VI, ••. , Vr einen Rr erzeugen, 80 bilden die zu ihnen senkrechten Vektoren einen R n- r , und der ganze Raum Rn ist die direkte Summe Rr + R n - r. 2. um Rr invariant laCt, 80 laCt sie auch den dazu senkrechten Rn-r invariant. 3. ndig reduzibel. 4. Die Determinante D einer unitaren Transformation hat den Betrag 1, d. h. es ist DD = 1. Die Determinante einer reellen orthogonalen Transformation ist ± 1. 5. ren und ebenso die reellen orthogonalen Transformationen eines Vektorraumes in sich bilden je eine Gruppe.

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by Christopher
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